$xy$平面内の図形 $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2\}$ の面積を求めます。この図形は、$x$軸、$y = x^2$、$x=2$、$x=4$で囲まれた領域です。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$xy$平面内の図形 $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2\}$ の面積を求めます。この図形は、$x$軸、$y = x^2$、$x=2$、$x=4$で囲まれた領域です。

2. 解き方の手順

面積は、$x$の範囲$[2, 4]$で $x^2$ を積分することで求められます。

$S = \int_2^4 x^2 dx$

積分を実行します。

$S = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_2^4 = \frac{1}{3}(4^3 - 2^3) = \frac{1}{3}(64 - 8) = \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{56}{3}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

$xy$平面内の図形 $D_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2 + 1\}$ の面積を求めます。この図形は、$x$軸、$y = x^2 + 1$、$x=2$、$x=4$で囲まれた領域です。

2. 解き方の手順

面積は、$x$の範囲$[2, 4]$で $x^2 + 1$ を積分することで求められます。

$S = \int_2^4 (x^2 + 1) dx$

積分を実行します。

$S = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x \right]_2^4 = \left( \frac{1}{3}(4^3) + 4 \right) - \left( \frac{1}{3}(2^3) + 2 \right) = \frac{64}{3} + 4 - \frac{8}{3} - 2 = \frac{56}{3} + 2 = \frac{56}{3} + \frac{6}{3} = \frac{62}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{62}{3}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

$xy$平面内の図形 $D_5 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \le x \le 1, x^2 - 1 \le y \le 0\}$ の面積を求めます。この図形は、$y=x^2 - 1$と、$y=0$で囲まれた領域です。

2. 解き方の手順

面積は、$x$の範囲$[-1, 1]$で $0 - (x^2 - 1) = 1 - x^2$ を積分することで求められます。

$S = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx$

積分を実行します。

$S = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{1}{3}(-1) \right) = 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$