与えられた定積分を計算して、面積 $S$ を求めます。問題文には、 $S = - \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos{2\theta})\cos{\theta} d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos{2\theta}\cos{\theta} d\theta$ とあります。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算して、面積 $S$ を求めます。問題文には、

$S = - \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (-\cos{2\theta})\cos{\theta} d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos{2\theta}\cos{\theta} d\theta$

とあります。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2\theta}$ を倍角の公式で展開します。

$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1$

これを積分に代入します。

$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2\cos^2{\theta} - 1)\cos{\theta} d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2\cos^3{\theta} - \cos{\theta}) d\theta$

$\cos^3{\theta}$ を計算するために、$\cos{3\theta} = 4\cos^3{\theta} - 3\cos{\theta}$ という公式を使うと、

$\cos^3{\theta} = \frac{1}{4}(\cos{3\theta} + 3\cos{\theta})$

これより、

$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (2\cdot\frac{1}{4}(\cos{3\theta} + 3\cos{\theta}) - \cos{\theta}) d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{2}\cos{3\theta} + \frac{3}{2}\cos{\theta} - \cos{\theta}) d\theta$

$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{2}\cos{3\theta} + \frac{1}{2}\cos{\theta}) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos{3\theta} + \cos{\theta}) d\theta$

$S = [\frac{1}{3}\sin{3\theta} + \sin{\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{3}\sin{\frac{3\pi}{4}} + \sin{\frac{\pi}{4}}) - (\frac{1}{3}\sin{0} + \sin{0})$

$\sin{\frac{3\pi}{4}} = \sin{(\pi - \frac{\pi}{4})} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$