次の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4}$ (2) $\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+6} - 2}{x+2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}$

1. 問題の内容

次の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4}$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+6} - 2}{x+2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4}$

まず、分子と分母を因数分解します。

$x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$

$x^3 - 5x^2 + 4 = (x-1)(x^2 - 4x - 4)$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 - 5x^2 + 4} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x^2 - 4x - 4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x^2 - 4x - 4}$

$x = 1$ を代入すると、

$\frac{1+3}{1^2 - 4(1) - 4} = \frac{4}{1-4-4} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+6} - 2}{x+2}$

分母に根号がない形にするために、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+6} - 2}{x+2} \cdot \frac{\sqrt{x+6} + 2}{\sqrt{x+6} + 2} = \frac{(x+6) - 4}{(x+2)(\sqrt{x+6} + 2)} = \frac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+6} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+6} + 2}$

したがって、

$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x+6} - 2}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{\sqrt{x+6} + 2} = \frac{1}{\sqrt{-2+6} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 5x}{3x} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{3x} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5}{3} = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 7x}{\sin 4x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{7x}{\sin 4x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{7x}{4x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{4x}{\sin 4x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} = 1 \cdot \frac{7}{4} \cdot 1 = \frac{7}{4}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\tan 3x}{2x} = \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} = \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{4}{7}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{5}{3}$

(4) $\frac{7}{4}$

(5) $\frac{3}{2}$