$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 - 4x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 - 4x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = a$ を代入して、$a$ の値を求める。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^2 - 4a + a$

$0 = a^2 - 3a$

$0 = a(a - 3)$

よって、$a = 0$ または $a = 3$ となる。

次に、積分区間が定数の積分を含む等式を微分する。

与えられた等式の両辺を $x$ で微分すると、積分の微分に関する基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + a)$

$f(x) = 2x - 4$

最後に、$a$ の値を決定する。

(i) $a=0$ のとき、$\int_{0}^{x} (2t - 4) dt = [t^2 - 4t]_{0}^{x} = x^2 - 4x$.

これは $x^2 - 4x + a$ で、$a=0$ と一致するので、 $a=0$ は条件を満たす。

(ii) $a=3$ のとき、$\int_{3}^{x} (2t - 4) dt = [t^2 - 4t]_{3}^{x} = (x^2 - 4x) - (3^2 - 4 \cdot 3) = x^2 - 4x - (9 - 12) = x^2 - 4x + 3$.

これは $x^2 - 4x + a$ で、$a=3$ と一致するので、$a=3$ も条件を満たす。

したがって、$f(x) = 2x - 4$ であり、$a=0$ または $a=3$ である。

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x - 4$

$a = 0$ または $a = 3$