$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ を示し、さらに、右辺と左辺の差が5%になるまでの範囲で数値計算し、グラフに描け。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ を示し、さらに、右辺と左辺の差が5%になるまでの範囲で数値計算し、グラフに描け。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ を示す。

これは、二項定理またはテイラー展開を用いて示すことができます。

二項定理を用いる場合、$(1+x^2)^{-1/2}$ を展開します。

$(1+x^2)^{-1/2} = 1 + (-\frac{1}{2})x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!} (x^2)^2 + \dots$

$= 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 + \dots$

$x$ が小さいとき、$x^4$ 以降の項は無視できるため、$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ が成り立ちます。

テイラー展開を用いる場合、$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ を $x=0$ の周りで展開します。

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-3/2}(2x) = -x(1+x^2)^{-3/2}$

$f'(0) = 0$

$f''(x) = -(1+x^2)^{-3/2} + (-x)(-\frac{3}{2})(1+x^2)^{-5/2}(2x) = -(1+x^2)^{-3/2} + 3x^2(1+x^2)^{-5/2}$

$f''(0) = -1$

テイラー展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

$= 1 + 0x + \frac{-1}{2}x^2 + \dots$

$= 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$

$x$ が小さいとき、$x^4$ 以降の項は無視できるため、$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ が成り立ちます。

(2) 右辺と左辺の差が5%になるまでの範囲を数値計算で求める。

差の割合（誤差率）を計算するために、以下の式を使用します。

誤差率 = $| \frac{ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - (1 - \frac{x^2}{2}) }{ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} } |$

この誤差率が5% (0.05)以下になるような $x$ の範囲を求めます。

電卓やプログラミング言語を用いて、様々な $x$ の値に対する誤差率を計算し、0.05以下になる $x$ の最大値を求めます。

$x=0$ のとき誤差率は0です。

$x=0.1$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+0.1^2}} \approx 0.995037, 1-\frac{0.1^2}{2} = 0.995$ 誤差率 = $| \frac{0.995037-0.995}{0.995037} | \approx 0.000037 / 0.995037 \approx 0.000037 = 0.0037\%$

$x=0.5$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+0.5^2}} \approx 0.894427, 1-\frac{0.5^2}{2} = 0.875$ 誤差率 = $| \frac{0.894427-0.875}{0.894427} | \approx 0.019427 / 0.894427 \approx 0.0217 = 2.17\%$

$x=1$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+1^2}} \approx 0.707107, 1-\frac{1^2}{2} = 0.5$ 誤差率 = $| \frac{0.707107-0.5}{0.707107} | \approx 0.207107 / 0.707107 \approx 0.2929 = 29.29\%$

$x=0.2$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+0.2^2}} \approx 0.980581, 1-\frac{0.2^2}{2} = 0.98$ 誤差率 = $| \frac{0.980581-0.98}{0.980581} | \approx 0.000581 / 0.980581 \approx 0.00059 = 0.059\%$

誤差率が5%以下になる範囲は、おおよそ $|x| < 0.6$ となります。 厳密には計算機を使って求める必要があります。

(3) グラフを描く。

$y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ と $y = 1 - \frac{x^2}{2}$ のグラフを、誤差が5%以下になる範囲（例：$-0.6 \le x \le 0.6$）で描きます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ が成り立つことは、二項定理またはテイラー展開によって示される。

誤差率が5%以下になる $x$ の範囲はおおよそ $|x| < 0.6$。

$y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ と $y = 1 - \frac{x^2}{2}$ のグラフを $-0.6 \le x \le 0.6$ の範囲で描く。