関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 1$ について、$x$ が $1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率が、微分係数 $f'(a)$ と等しいとき、定数 $a$ の値を求める。ただし、$1 < a < 2$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 1$ について、$x$ が $1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率が、微分係数 $f'(a)$ と等しいとき、定数 $a$ の値を求める。ただし、$1 < a < 2$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の平均変化率を計算する。

平均変化率は、$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ で与えられる。

$f(2) = 2^3 - 2(2^2) - 2 + 1 = 8 - 8 - 2 + 1 = -1$

$f(1) = 1^3 - 2(1^2) - 1 + 1 = 1 - 2 - 1 + 1 = -1$

したがって、平均変化率は

$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{-1 - (-1)}{1} = 0$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - x + 1) = 3x^2 - 4x - 1$

$f'(a) = 3a^2 - 4a - 1$

問題文より、$f'(a)$ は平均変化率に等しいので、

$f'(a) = 0$

つまり、$3a^2 - 4a - 1 = 0$

この二次方程式を解く。解の公式を用いると、

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

$a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ または $a = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

ここで、$1 < a < 2$ であることを考慮する。

$\sqrt{7} \approx 2.646$ なので、

$\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 + 2.646}{3} \approx \frac{4.646}{3} \approx 1.549$

$\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 - 2.646}{3} \approx \frac{-0.646}{3} \approx -0.215$

よって、$1 < a < 2$ を満たすのは $a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$