関数 $f(x) = 4x^3 - 30x^2 + 48x - 13$ の $0 \le x \le 5$ における最大値と最小値の差を求める問題です。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^3 - 30x^2 + 48x - 13$ の $0 \le x \le 5$ における最大値と最小値の差を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 12x^2 - 60x + 48$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 60x + 48 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

よって、$x = 1, 4$

次に、区間 $[0, 5]$ の端点 $x = 0, 5$ と、導関数が $0$ となる $x = 1, 4$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = -13$

$f(1) = 4(1)^3 - 30(1)^2 + 48(1) - 13 = 4 - 30 + 48 - 13 = 9$

$f(4) = 4(4)^3 - 30(4)^2 + 48(4) - 13 = 256 - 480 + 192 - 13 = -45$

$f(5) = 4(5)^3 - 30(5)^2 + 48(5) - 13 = 500 - 750 + 240 - 13 = -23$

これらの値から、最大値は $f(1) = 9$ であり、最小値は $f(4) = -45$ であることがわかります。

最大値と最小値の差を求めます。

$9 - (-45) = 9 + 45 = 54$

3. 最終的な答え

54