$0 \le x \le 1$ のとき、関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1-b}{3}x^2$ について、$0 < b < 1$ とする。このとき、$f(x)$ の最大値 $l$ と最小値 $m$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$ のとき、関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1-b}{3}x^2$ について、$0 < b < 1$ とする。このとき、$f(x)$ の最大値 $l$ と最小値 $m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = -x^2 + \frac{2(1-b)}{3}x = x \left( -x + \frac{2(1-b)}{3} \right)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = \frac{2(1-b)}{3}$ のときです。

$0 < b < 1$ より、$0 < 1-b < 1$ なので、$0 < \frac{2(1-b)}{3} < \frac{2}{3} < 1$ となります。

したがって、区間 $0 \le x \le 1$ において、$x=0$ と $x = \frac{2(1-b)}{3}$ で極値を持ちます。

$x=0$ のとき、$f(0) = 0$

$x = \frac{2(1-b)}{3}$ のとき、

\begin{align*} f\left( \frac{2(1-b)}{3} \right) &= -\frac{1}{3} \left( \frac{2(1-b)}{3} \right)^3 + \frac{1-b}{3} \left( \frac{2(1-b)}{3} \right)^2 \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \frac{8(1-b)^3}{27} + \frac{1-b}{3} \cdot \frac{4(1-b)^2}{9} \\ &= -\frac{8(1-b)^3}{81} + \frac{4(1-b)^3}{27} \\ &= \frac{-8(1-b)^3 + 12(1-b)^3}{81} \\ &= \frac{4(1-b)^3}{81} \end{align*}

$x=1$ のとき、$f(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1-b}{3} = \frac{-b}{3}$

$0 < b < 1$ より、$-\frac{1}{3} < f(1) < 0$ であり、$0 < \frac{4(1-b)^3}{81} < \frac{4}{81}$ となります。

$f(0)=0$, $f(1) = -\frac{b}{3} < 0$ なので、最小値は$f(1) = -\frac{b}{3}$ である可能性が高いです。

$f(\frac{2(1-b)}{3}) > 0$ なので、最大値は$f(\frac{2(1-b)}{3}) = \frac{4(1-b)^3}{81}$ である可能性が高いです。

$f(1) = -\frac{b}{3}$ を比較します。$f(1) < f(0)$ であることは明らかです。

$f'(x)$ の符号を調べると、$0 < x < \frac{2(1-b)}{3}$ で $f'(x) > 0$、$\frac{2(1-b)}{3} < x < 1$ で $f'(x) < 0$ となるので、$x=\frac{2(1-b)}{3}$ で極大となります。

よって、最大値は $\frac{4(1-b)^3}{81}$ であり、最小値は $-\frac{b}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値 $l = \frac{4(1-b)^3}{81}$

最小値 $m = -\frac{b}{3}$