与えられた曲線または直線で囲まれた領域の面積 $S$ を求める問題です。3つの小問があり、それぞれ以下のように定義されています。 (1) $y=e^{2x}$, $y=2e^{-x}+3$, $x=0$ で囲まれた領域 (2) $2x^2 + 3y^2 = 6$ で囲まれた領域 (3) $x = \sin \theta$, $y = -\cos 2\theta$, $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $x$軸で囲まれた領域

1. 問題の内容

与えられた曲線または直線で囲まれた領域の面積 $S$ を求める問題です。3つの小問があり、それぞれ以下のように定義されています。

(1) $y=e^{2x}$, $y=2e^{-x}+3$, $x=0$ で囲まれた領域

(2) $2x^2 + 3y^2 = 6$ で囲まれた領域

(3) $x = \sin \theta$, $y = -\cos 2\theta$, $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $x$軸で囲まれた領域

2. 解き方の手順

(1) $y=e^{2x}$ と $y=2e^{-x}+3$ の交点を求めます。$e^{2x} = 2e^{-x} + 3$ を解くと、$e^{3x} - 2 = 3e^x$ となります。ここで、$t = e^x$ とおくと、$t^3 - 3t - 2 = 0$ より、$(t+1)^2 (t-2) = 0$。$t>0$ より、$t = 2$。つまり、$e^x = 2$ であり、$x = \log 2$ です。面積 $S$ は、

$S = \int_0^{\log 2} (2e^{-x} + 3 - e^{2x}) dx = [-2e^{-x} + 3x - \frac{1}{2}e^{2x}]_0^{\log 2} = (-2\frac{1}{2} + 3\log 2 - \frac{1}{2}4) - (-2 + 0 - \frac{1}{2}) = -1 + 3\log 2 - 2 + 2 - (- \frac{1}{2}) = 3 \log 2 - \frac{1}{2}$

(2) $2x^2 + 3y^2 = 6$ は $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ と変形できるので、これは楕円を表しています。楕円の面積は $\pi a b$ で求められ、$a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{2}$ なので、$S = \pi \sqrt{3} \sqrt{2} = \pi \sqrt{6}$

(3) $y = -\cos 2\theta$ と $x$ 軸の交点を求めます。つまり、$-\cos 2\theta = 0$ を解くと、$2\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}$ となります。面積は、

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (-\cos 2\theta) \cos \theta d\theta = -2\int_0^{\pi/4} \cos 2\theta \cos \theta d\theta = -2\int_0^{\pi/4} (2\cos^2 \theta - 1)\cos \theta d\theta = -2 \int_0^{\pi/4} (2\cos^3 \theta - \cos \theta) d\theta = -2 \int_0^{\pi/4} (2\cos \theta (1-\sin^2 \theta) - \cos \theta) d\theta = -2\int_0^{\pi/4} (2\cos \theta - 2\cos \theta \sin^2 \theta - \cos \theta) d\theta = -2\int_0^{\pi/4} (\cos \theta - 2\cos \theta \sin^2 \theta) d\theta = -2 [\sin \theta - \frac{2}{3}\sin^3 \theta]_0^{\pi/4} = -2 [\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 ] = -2(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \frac{1}{2\sqrt{2}}) = -2(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}) = -2(\frac{3-1}{3\sqrt{2}}) = -\frac{4}{3\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

面積は正なので、$S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 3\log 2 - \frac{1}{2}$

(2) $S = \pi \sqrt{6}$

(3) $S = \frac{2\sqrt{2}}{3}$