$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta + 1$ の最大値、最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta + 1$ の最大値、最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2\theta$ を $\sin^2\theta$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ です。

したがって、

$$y = 1 - \sin^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta + 1 = -\sin^2\theta + \sqrt{2}\sin\theta + 2$$

次に、$t = \sin\theta$ とおきます。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ です。

$y$ は $t$ の関数として $y = -t^2 + \sqrt{2}t + 2$ と表されます。

これを平方完成すると、

$$y = -(t^2 - \sqrt{2}t) + 2 = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\left(t - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$$

したがって、$t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{5}{2}$ をとります。

$t = \sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

また、$t = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + \sqrt{2}(-1) + 2 = -1 - \sqrt{2} + 2 = 1 - \sqrt{2}$ となります。

$t = 1$ のとき、$y = -1^2 + \sqrt{2}(1) + 2 = -1 + \sqrt{2} + 2 = 1 + \sqrt{2}$ となります。

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$y$ は $t = -1$ のとき最小値 $1 - \sqrt{2}$ をとります。

$\sin\theta = -1$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値：$1 - \sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)