次の不定積分を求める問題です。 $\int x^2 \sqrt{x^3+2} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int x^2 \sqrt{x^3+2} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

$u = x^3 + 2$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

$du = 3x^2 dx$

$x^2 dx = \frac{1}{3} du$

したがって、積分は

$\int x^2 \sqrt{x^3+2} dx = \int \sqrt{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du$

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = x^3 + 2$ を代入して、

$\frac{2}{9} (x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{9} (x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$