(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき、$\cos \alpha$, $\cos 2\alpha$, $\cos(\beta - \alpha)$, $\cos(12\alpha - 8\beta)$ の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$ のとき、$\cos \alpha$, $\cos 2\alpha$, $\cos(\beta - \alpha)$, $\cos(12\alpha - 8\beta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ なので、三角関数の相互関係 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を用いて、

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) $\cos 2\alpha$ を求める。2倍角の公式 $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ を用いて、

$\cos 2\alpha = (\frac{\sqrt{10}}{5})^2 - (\frac{\sqrt{15}}{5})^2 = \frac{10}{25} - \frac{15}{25} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$

(3) $\cos(\beta - \alpha)$ を求める。$\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha$ を用いる。

まず、$\cos \beta$ を求める。$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\cos \beta < 0$ なので、三角関数の相互関係 $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ を用いて、

$\cos \beta = - \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = - \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{5})^2} = - \sqrt{1 - \frac{10}{25}} = - \sqrt{\frac{15}{25}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$

よって、

$\cos(\beta - \alpha) = (-\frac{\sqrt{15}}{5})(\frac{\sqrt{10}}{5}) + (\frac{\sqrt{10}}{5})(\frac{\sqrt{15}}{5}) = -\frac{\sqrt{150}}{25} + \frac{\sqrt{150}}{25} = 0$

(4) $\cos(12\alpha - 8\beta)$ を求める。

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$ である。

まず、$3\alpha - 2\beta$ を求める。

$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 3(\frac{\sqrt{15}}{5}) - 4(\frac{\sqrt{15}}{5})^3 = \frac{3\sqrt{15}}{5} - \frac{4(15\sqrt{15})}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{5} - \frac{60\sqrt{15}}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{5} - \frac{12\sqrt{15}}{25} = \frac{15\sqrt{15} - 12\sqrt{15}}{25} = \frac{3\sqrt{15}}{25}$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = 4(\frac{\sqrt{10}}{5})^3 - 3(\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{40\sqrt{10}}{125} - \frac{3\sqrt{10}}{5} = \frac{8\sqrt{10}}{25} - \frac{15\sqrt{10}}{25} = \frac{-7\sqrt{10}}{25}$

$\sin(2\beta) = 2\sin\beta \cos\beta = 2(\frac{\sqrt{10}}{5})(-\frac{\sqrt{15}}{5}) = -\frac{2\sqrt{150}}{25} = -\frac{2(5\sqrt{6})}{25} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos(2\beta) = \cos^2\beta - \sin^2\beta = (-\frac{\sqrt{15}}{5})^2 - (\frac{\sqrt{10}}{5})^2 = \frac{15}{25} - \frac{10}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$ の代わりに、別の方法を考える。

$12\alpha - 8\beta = 4(3\alpha - 2\beta)$ なので、$3\alpha$と$2\beta$が求まれば計算できる。

$12\alpha - 8\beta = 4(3\alpha - 2\beta)$

別の解法：

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}, \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{5}, \cos \beta = -\frac{\sqrt{15}}{5}$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{5}$

$\cos(\beta - \alpha) = 0$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = -\frac{7}{25}$