与えられた等式 $f(x) = x + \int_0^2 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $f(x) = x + \int_0^2 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_0^2 f(t) dt$ は定数であることに注目します。

この定数を $A$ と置くと、

$A = \int_0^2 f(t) dt$

となります。

このとき、$f(x)$ は

$f(x) = x + A$

と表せます。

次に、この $f(x)$ を $A$ の定義式に代入します。

$A = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (t+A) dt$

積分を実行すると、

$A = [\frac{1}{2}t^2 + At]_0^2 = (\frac{1}{2}(2)^2 + A(2)) - (\frac{1}{2}(0)^2 + A(0)) = 2 + 2A$

よって、$A = 2 + 2A$ より、 $A = -2$ となります。

これを $f(x) = x + A$ に代入すると、

$f(x) = x - 2$

となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x - 2$