実数 $x$ に対して、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。 (1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフをかけ。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。

(1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフをかけ。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを求める。

$0 \le x < 1$ のとき, $[x] = 0$ なので $y = x \cdot 0 = 0$

$1 \le x < 2$ のとき, $[x] = 1$ なので $y = x \cdot 1 = x$

$2 \le x < 3$ のとき, $[x] = 2$ なので $y = x \cdot 2 = 2x$

したがって、グラフは以下のようになる。

- $0 \le x < 1$ のとき, $y = 0$

- $1 \le x < 2$ のとき, $y = x$

- $2 \le x < 3$ のとき, $y = 2x$

(2) 曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点を持つような $a$ の範囲を求める。

- $0 \le x < 1$ のとき, $ax^2 + \frac{5}{2} = 0$ が解を持つためには $a > 0$ より解なし。

- $1 \le x < 2$ のとき, $ax^2 + \frac{5}{2} = x \Leftrightarrow ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$

この2次方程式が $1 \le x < 2$ で解を2つ持つ条件を考える。

$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2}$ とおく。

$f(x) = 0$ が $1 \le x < 2$ で2つの解を持つための条件は、以下の3つを満たすこと。

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸 $1 < \frac{1}{2a} < 2$

3. $f(1) > 0$ かつ $f(2) > 0$

1. $D = (-1)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 1 - 10a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{10}$

2. $1 < \frac{1}{2a} < 2 \Leftrightarrow \frac{1}{4} < a < \frac{1}{2}$

3. $f(1) = a - 1 + \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{3}{2}$

$f(2) = 4a - 2 + \frac{5}{2} = 4a + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{1}{8}$

これらの条件を満たす $a$ は存在しない。

- $2 \le x < 3$ のとき, $ax^2 + \frac{5}{2} = 2x \Leftrightarrow ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$

この2次方程式が $2 \le x < 3$ で解を2つ持つ条件を考える。

$g(x) = ax^2 - 2x + \frac{5}{2}$ とおく。

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸 $2 < \frac{1}{a} < 3$

3. $g(2) > 0$ かつ $g(3) > 0$

1. $D = (-2)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 4 - 10a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{2}{5}$

2. $2 < \frac{1}{a} < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$

3. $g(2) = 4a - 4 + \frac{5}{2} = 4a - \frac{3}{2} > 0 \Leftrightarrow a > \frac{3}{8}$

$g(3) = 9a - 6 + \frac{5}{2} = 9a - \frac{7}{2} > 0 \Leftrightarrow a > \frac{7}{18}$

これらの条件より $\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$. また$\frac{3}{8} = 0.375$と$\frac{7}{18} \approx 0.389$, $\frac{1}{3} \approx 0.333$, $\frac{1}{2}=0.5$, $\frac{2}{5} = 0.4$であるから、 $\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$と$\frac{7}{18}<a<\frac{1}{2}$かつ$a<\frac{2}{5}$という関係が整理される。

従って、$\frac{3}{8}< a < \frac{2}{5}$ かつ $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$が整理される。

$\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$.

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$