関数 $f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(0)$と$g(0)$の値を求め、f(x)が相加平均と相乗平均の関係から、xがいくつの時に最小値をとるかと、その最小値を求めます。$g(x) = -2$となるxの値を求めます。 (2) $f(-x)$, $g(-x)$, $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2$, $g(2x)$をそれぞれ求めます。

はい、この数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ と $g(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(0)$と$g(0)$の値を求め、f(x)が相加平均と相乗平均の関係から、xがいくつの時に最小値をとるかと、その最小値を求めます。$g(x) = -2$となるxの値を求めます。

(2) $f(-x)$, $g(-x)$, $\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2$, $g(2x)$をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(0)$と$g(0)$の値を計算します。

$f(0) = \frac{2^0 + 2^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

$g(0) = \frac{2^0 - 2^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$

次に、$f(x)$が相加平均と相乗平均の関係から、最小値をとるxを求めます。相加平均・相乗平均の関係より、$f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} \geq \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = \sqrt{1} = 1$ となります。

等号が成立するのは、$2^x = 2^{-x}$、つまり $x = 0$ の時です。

したがって、$x = 0$ で最小値 $1$ をとります。

次に、$g(x) = -2$となるxの値を求めます。

$\frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -2$

$2^x - 2^{-x} = -4$

$2^x - \frac{1}{2^x} = -4$

$(2^x)^2 + 4(2^x) - 1 = 0$

$2^x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

$2^x > 0$ より $2^x = -2 + \sqrt{5}$

$x = \log_2 (\sqrt{5} - 2)$

(2)

$f(-x) = \frac{2^{-x} + 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} + 2^{x}}{2} = f(x)$

$g(-x) = \frac{2^{-x} - 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} - 2^{x}}{2} = -g(x)$

$\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 = (\frac{2^x + 2^{-x}}{2})^2 - (\frac{2^x - 2^{-x}}{2})^2 = \frac{(2^x + 2^{-x})^2 - (2^x - 2^{-x})^2}{4} = \frac{(2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 - ((2^x)^2 - 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2)}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$g(2x) = \frac{2^{2x} - 2^{-2x}}{2}$

$f(x)g(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} \cdot \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{(2^x)^2 - (2^{-x})^2}{4} = \frac{2^{2x} - 2^{-2x}}{4} = \frac{1}{2}g(2x)$

よって、$g(2x) = 2f(x)g(x)$

3. 最終的な答え

(1) セ: 1, ソ: 0, タ: 0, チ: 1, ツ: 5, テ: 2

(2) ト: 0, ナ: 3, 二: 1, ヌ: 2