与えられた画像には、電子物理数学の演習問題が5問含まれています。以下に各問題の内容を要約します。 * 問題1: 関数 $f(x, y) = \frac{x-y}{x+y}$ の偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を求める。 * 問題2: $z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める。 * 問題3: $f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求める。 * 問題4: $f(x, y) = \cos x \sin y$ の全微分 $df$ を求める。 * 問題5: 銅線の直径 $D$, 長さ $L$, 抵抗 $R$ とすると、銅線の比抵抗 $\rho = \frac{\pi D^2 R}{4L}$ となる。 * (1) $D, L, R$ が変数のとき、$\rho$ の全微分 $d\rho$ を求める。 * (2) $D, L, R$ の変化率 $\frac{dD}{D}, \frac{dL}{L}, \frac{dR}{R}$ が全て 1% のとき、$\rho$ の変化率 $\frac{d\rho}{\rho}$ を求める。 以下に各問題の解き方と答えを示します。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた画像には、電子物理数学の演習問題が5問含まれています。以下に各問題の内容を要約します。

* 問題1: 関数 $f(x, y) = \frac{x-y}{x+y}$ の偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を求める。

* 問題2: $z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求める。

* 問題3: $f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求める。

* 問題4: $f(x, y) = \cos x \sin y$ の全微分 $df$ を求める。

* 問題5: 銅線の直径 $D$, 長さ $L$, 抵抗 $R$ とすると、銅線の比抵抗 $\rho = \frac{\pi D^2 R}{4L}$ となる。

* (1) $D, L, R$ が変数のとき、$\rho$ の全微分 $d\rho$ を求める。

* (2) $D, L, R$ の変化率 $\frac{dD}{D}, \frac{dL}{L}, \frac{dR}{R}$ が全て 1% のとき、$\rho$ の変化率 $\frac{d\rho}{\rho}$ を求める。

以下に各問題の解き方と答えを示します。

2. 解き方の手順

* 問題1:

$f(x, y) = \frac{x-y}{x+y}$

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-(x+y) - (x-y)}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

* 問題2:

$z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x = 2(3t^2 + 2t + 1) = 6t^2 + 4t + 2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 = 3(-2t - 3)^2 = 3(4t^2 + 12t + 9) = 12t^2 + 36t + 27$

$\frac{dx}{dt} = 6t + 2$

$\frac{dy}{dt} = -2$

$\frac{dz}{dt} = (6t^2 + 4t + 2)(6t + 2) + (12t^2 + 36t + 27)(-2)$

$= 36t^3 + 12t^2 + 24t^2 + 8t + 12t + 4 - 24t^2 - 72t - 54$

$= 36t^3 + 12t^2 - 52t - 50$

* 問題3:

$f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

* 問題4:

$f(x, y) = \cos x \sin y$

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin x \sin y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos x \cos y$

$df = -\sin x \sin y dx + \cos x \cos y dy$

* 問題5:

(1) $\rho = \frac{\pi D^2 R}{4L}$

$d\rho = \frac{\partial \rho}{\partial D} dD + \frac{\partial \rho}{\partial L} dL + \frac{\partial \rho}{\partial R} dR$

$\frac{\partial \rho}{\partial D} = \frac{2\pi D R}{4L} = \frac{\pi D R}{2L}$

$\frac{\partial \rho}{\partial L} = -\frac{\pi D^2 R}{4L^2}$

$\frac{\partial \rho}{\partial R} = \frac{\pi D^2}{4L}$

$d\rho = \frac{\pi D R}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR$

(2) $\frac{dD}{D} = 0.01$, $\frac{dL}{L} = 0.01$, $\frac{dR}{R} = 0.01$

$\frac{d\rho}{\rho} = \frac{\frac{\pi D R}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR}{\frac{\pi D^2 R}{4L}}$

$= \frac{\frac{2\pi D^2 R}{4L} \frac{dD}{D} - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} L \frac{dL}{L} + \frac{\pi D^2 R}{4L} \frac{dR}{R}}{\frac{\pi D^2 R}{4L}}$

$= 2\frac{dD}{D} - \frac{dL}{L} + \frac{dR}{R} = 2(0.01) - 0.01 + 0.01 = 0.02$

$\frac{d\rho}{\rho} = 0.02 = 2\%$

3. 最終的な答え

* 問題1: $f_x = \frac{2y}{(x+y)^2}$, $f_y = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

* 問題2: $\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 - 52t - 50$

* 問題3: $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$

* 問題4: $df = -\sin x \sin y dx + \cos x \cos y dy$

* 問題5:

* (1) $d\rho = \frac{\pi D R}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR$

* (2) $\frac{d\rho}{\rho} = 0.02 = 2\%$