広義積分 $I = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $I = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分を評価するために、パラメータ積分を導入します。

$I(a) = \int_0^\infty e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$ (ただし $a \geq 0$) と定義します。求めたい値は $I(0)$ です。

$I(a)$ を $a$ で微分します。

$\frac{dI}{da} = \frac{d}{da} \int_0^\infty e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial a} (e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x}) dx$

$\frac{dI}{da} = \int_0^\infty (-x) e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx = - \int_0^\infty e^{-ax} \sin(x) dx$

$J = \int_0^\infty e^{-ax} \sin(x) dx$ を計算します。部分積分を2回行います。

$u = \sin(x)$, $dv = e^{-ax}dx$ とすると、$du = \cos(x)dx$, $v = -\frac{1}{a} e^{-ax}$ となり、

$J = [-\frac{1}{a} e^{-ax} \sin(x)]_0^\infty + \frac{1}{a} \int_0^\infty e^{-ax} \cos(x) dx = 0 + \frac{1}{a} \int_0^\infty e^{-ax} \cos(x) dx$

$u = \cos(x)$, $dv = e^{-ax}dx$ とすると、$du = -\sin(x)dx$, $v = -\frac{1}{a} e^{-ax}$ となり、

$J = \frac{1}{a} ([-\frac{1}{a} e^{-ax} \cos(x)]_0^\infty - \frac{1}{a} \int_0^\infty e^{-ax} \sin(x) dx) = \frac{1}{a} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a} J)$

$J = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2} J$

$(1+\frac{1}{a^2})J = \frac{1}{a^2}$

$J = \frac{1}{a^2+1}$

したがって、$\frac{dI}{da} = - \int_0^\infty e^{-ax} \sin(x) dx = - \frac{1}{a^2+1}$

両辺を $a$ で積分します。

$I(a) = - \int \frac{1}{a^2+1} da = - \arctan(a) + C$

$a \to \infty$ のとき、$I(a) \to 0$ なので、

$0 = - \arctan(\infty) + C = - \frac{\pi}{2} + C$

したがって、$C = \frac{\pi}{2}$

$I(a) = - \arctan(a) + \frac{\pi}{2}$

求める値は $I(0)$ なので、

$I(0) = - \arctan(0) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$