与えられた定積分の計算過程とその最終的な答えが正しいかを確認する問題です。具体的には、 $4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^5 \theta - \sin^7 \theta) \cos \theta d\theta = 4 \left[ \frac{\sin^6 \theta}{6} - \frac{\sin^8 \theta}{8} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{6}$ が正しいかどうかを検証します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算過程とその最終的な答えが正しいかを確認する問題です。具体的には、

$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^5 \theta - \sin^7 \theta) \cos \theta d\theta = 4 \left[ \frac{\sin^6 \theta}{6} - \frac{\sin^8 \theta}{8} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{6}$

が正しいかどうかを検証します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。$\sin \theta = t$ と置換すると、$\cos \theta d\theta = dt$ となります。

$\int \sin^5 \theta \cos \theta d\theta = \int t^5 dt = \frac{t^6}{6} + C = \frac{\sin^6 \theta}{6} + C$

$\int \sin^7 \theta \cos \theta d\theta = \int t^7 dt = \frac{t^8}{8} + C = \frac{\sin^8 \theta}{8} + C$

したがって、

$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^5 \theta - \sin^7 \theta) \cos \theta d\theta = 4 \left[ \frac{\sin^6 \theta}{6} - \frac{\sin^8 \theta}{8} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= 4 \left[ \left( \frac{\sin^6 (\frac{\pi}{2})}{6} - \frac{\sin^8 (\frac{\pi}{2})}{8} \right) - \left( \frac{\sin^6 (0)}{6} - \frac{\sin^8 (0)}{8} \right) \right]$

$= 4 \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{1^8}{8} - (0 - 0) \right]$

$= 4 \left[ \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right]$

$= 4 \left[ \frac{4}{24} - \frac{3}{24} \right]$

$= 4 \left[ \frac{1}{24} \right] = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

したがって、与えられた計算は正しいです。

最終的な答え：$\frac{1}{6}$