$y = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ の $x = \log 2$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、接線の方程式は $y = \boxed{1}(x - \log 2) + \frac{5}{3}$ の形で与えられており、$\boxed{1}$ に当てはまる値を求めます。

## 問題1

1. 問題の内容

$y = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ の $x = \log 2$ における接線の方程式を求める問題です。ただし、接線の方程式は $y = \boxed{1}(x - \log 2) + \frac{5}{3}$ の形で与えられており、$\boxed{1}$ に当てはまる値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ を微分するために、商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = e^x + e^{-x}$ と $v = e^x - e^{-x}$ とすると、

$u' = e^x - e^{-x}$

$v' = e^x + e^{-x}$

したがって、

$y' = \frac{(e^x - e^{-x})^2 - (e^x + e^{-x})^2}{(e^x - e^{-x})^2} = \frac{(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} + 2 + e^{-2x})}{(e^x - e^{-x})^2} = \frac{-4}{(e^x - e^{-x})^2}$

次に、$x = \log 2$ における $y'$ の値を求めます。

$e^{\log 2} = 2$

$e^{-\log 2} = e^{\log (2^{-1})} = e^{\log \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

したがって、

$y'(\log 2) = \frac{-4}{(2 - \frac{1}{2})^2} = \frac{-4}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{-4}{\frac{9}{4}} = -\frac{16}{9}$

$y'(\log 2)$ の値が、接線の傾きを表すので、$\boxed{1}$ に入る値は $-\frac{16}{9}$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{16}{9}$

## 問題2

1. 問題の内容

$y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ の $x=1$ における接線を $l$ とするとき、$l$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(1) = \sqrt{\frac{2(1)-1}{3(1)+1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

次に、$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y = \sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}$ なので、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}} \cdot \frac{2(3x+1) - 3(2x-1)}{(3x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}} \cdot \frac{6x+2-6x+3}{(3x+1)^2} = \frac{5}{2\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}}(3x+1)^2}$

次に、$x = 1$ における $y'$ の値を求めます。

$y'(1) = \frac{5}{2\sqrt{\frac{1}{4}}(3(1)+1)^2} = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (4)^2} = \frac{5}{16}$

$x=1$ における接線の方程式は

$y - \frac{1}{2} = \frac{5}{16}(x-1)$

$y = \frac{5}{16}x - \frac{5}{16} + \frac{1}{2} = \frac{5}{16}x + \frac{3}{16}$

$y$ 軸との交点は $x=0$ のときなので、

$y = \frac{5}{16}(0) + \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}$

## 問題3

1. 問題の内容

$y = e^{-x^2}$ が変曲点となる $x$ の値を $\pm\sqrt{\boxed{3}}$ の形で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で2回微分して、$y''$ を求めます。

$y = e^{-x^2}$

$y' = -2xe^{-x^2}$

$y'' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

変曲点では $y'' = 0$ となるので、

$(4x^2 - 2)e^{-x^2} = 0$

$e^{-x^2} > 0$ なので、$4x^2 - 2 = 0$ を解きます。

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}$

よって、$\boxed{3}$ に入る値は $\frac{1}{2}$ です。

$x= \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$