与えられた極限の式 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

与えられた極限の式 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ の微分を求める

$f(x) = e^x$ とおくと、微分の定義より、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

$e^{x+h} = e^x e^h$ なので、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$

与えられた極限の式より、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ なので、

$$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$$

したがって、$e^x$ の微分は $e^x$ です。

(2) $\log x$ の微分を求める

$y = \log x$ とおくと、$x = e^y$ となります。

この両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} e^y$$

左辺は 1 で、右辺は合成関数の微分より $\frac{de^y}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = e^y \frac{dy}{dx}$ となります。

したがって、$1 = e^y \frac{dy}{dx}$ より、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

したがって、$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ です。

3. 最終的な答え

$e^x$ の1階微分は $e^x$

$\log x$ の1階微分は $\frac{1}{x}$