$f(x) = \cos x$ とおくとき、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ とおくとき、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

$\cos x$ の Taylor展開を考える。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ である。

$f(x) = \cos x$ を与えられた極限に代入する。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x)}{x^2}$

$\cos x \cos(10x) \cos(100x) \approx (1 - \frac{x^2}{2})(1 - \frac{(10x)^2}{2})(1 - \frac{(100x)^2}{2}) = (1 - \frac{x^2}{2})(1 - 50x^2)(1 - 5000x^2)$

$\approx 1 - \frac{x^2}{2} - 50x^2 - 5000x^2 = 1 - (\frac{1}{2} + 50 + 5000)x^2 = 1 - \frac{1 + 100 + 10000}{2}x^2 = 1 - \frac{10101}{2}x^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \frac{10101}{2}x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{10101}{2}x^2}{x^2} = \frac{10101}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{10101}{2}$