$f(x) = \cos x$ とするとき、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ とするとき、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos x$ を代入すると、求める極限は

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x)}{x^2}$$

である。

$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ を用いると、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ が成り立つ。

また、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ である。

$1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x) = 1 - (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))(1 - \frac{(10x)^2}{2} + O(x^4))(1 - \frac{(100x)^2}{2} + O(x^4))$

$= 1 - (1 - \frac{x^2}{2} - \frac{100x^2}{2} - \frac{10000x^2}{2} + O(x^4))$

$= \frac{x^2}{2} + \frac{100x^2}{2} + \frac{10000x^2}{2} + O(x^4)$

$= \frac{10101}{2}x^2 + O(x^4)$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{10101}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2} = \frac{10101}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{10101}{2}$