$f(x) = \cos x$ とするとき、極限 $\lim_{x\to 0} \frac{1-f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos x$ とするとき、極限 $\lim_{x\to 0} \frac{1-f(x)f(10x)f(100x)}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos x$ なので、与えられた極限は

$$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x)}{x^2}$$

である。

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ であることを用いる。つまり、$x \to 0$ のとき $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ と近似できる。

よって、

\begin{align*} \cos x \cos(10x) \cos(100x) &\approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - \frac{(10x)^2}{2}\right)\left(1 - \frac{(100x)^2}{2}\right) \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - \frac{100x^2}{2}\right)\left(1 - \frac{10000x^2}{2}\right) \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - 50x^2\right)\left(1 - 5000x^2\right) \\ &= \left(1 - 50x^2 - \frac{x^2}{2} + 25x^4\right)\left(1 - 5000x^2\right) \\ &\approx \left(1 - \frac{101}{2}x^2\right)\left(1 - 5000x^2\right) \\ &= 1 - 5000x^2 - \frac{101}{2}x^2 + 5000 \cdot \frac{101}{2} x^4 \\ &\approx 1 - \left(5000 + \frac{101}{2}\right)x^2 \\ &= 1 - \frac{10000+101}{2} x^2 = 1 - \frac{10101}{2}x^2 \end{align*}

したがって、

\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x \cos(10x) \cos(100x)}{x^2} &= \lim_{x\to 0} \frac{1 - (1 - \frac{10101}{2}x^2)}{x^2} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{10101}{2}x^2}{x^2} = \frac{10101}{2} \end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{10101}{2}$