与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^2 - 2} + \sqrt[3]{2x+3}$ (4) $y = x\sqrt{2x^2 + 1}$ (5) $y = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 + 3}}$

了解しました。画像にある5つの関数の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 - 2} + \sqrt[3]{2x+3}$

(4) $y = x\sqrt{2x^2 + 1}$

(5) $y = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 + 3}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} = (x^2 - 4x + 5)^{1/2}$

合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 5)^{-1/2}(2x - 4) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$

合成関数の微分を用いる。

$y' = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 - 2} + \sqrt[3]{2x+3} = (x^2 - 2)^{1/4} + (2x + 3)^{1/3}$

それぞれの項を微分する。

$y' = \frac{1}{4}(x^2 - 2)^{-3/4}(2x) + \frac{1}{3}(2x + 3)^{-2/3}(2) = \frac{x}{2(x^2 - 2)^{3/4}} + \frac{2}{3(2x + 3)^{2/3}}$

(4) $y = x\sqrt{2x^2 + 1} = x(2x^2 + 1)^{1/2}$

積の微分法と合成関数の微分を用いる。

$y' = 1 \cdot (2x^2 + 1)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(2x^2 + 1)^{-1/2}(4x) = \sqrt{2x^2 + 1} + \frac{2x^2}{\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x^2 + 1 + 2x^2}{\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{4x^2 + 1}{\sqrt{2x^2 + 1}}$

(5) $y = \frac{-4x}{\sqrt{x^2 + 3}} = -4x(x^2 + 3)^{-1/2}$

積の微分法と合成関数の微分を用いる。

$y' = -4(x^2 + 3)^{-1/2} + (-4x)(-\frac{1}{2})(x^2 + 3)^{-3/2}(2x) = \frac{-4}{\sqrt{x^2 + 3}} + \frac{4x^2}{(x^2 + 3)^{3/2}} = \frac{-4(x^2 + 3) + 4x^2}{(x^2 + 3)^{3/2}} = \frac{-12}{(x^2 + 3)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}$

(2) $y' = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$

(3) $y' = \frac{x}{2(x^2 - 2)^{3/4}} + \frac{2}{3(2x + 3)^{2/3}}$

(4) $y' = \frac{4x^2 + 1}{\sqrt{2x^2 + 1}}$

(5) $y' = \frac{-12}{(x^2 + 3)^{3/2}}$