次の関数を微分する問題です。 (1) $y=x^{\frac{4}{7}}$ (2) $y=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ (3) $y=x\sqrt[4]{x}$ (4) $y=4x^{\frac{3}{2}}-6x^{\frac{5}{6}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y=x^{\frac{4}{7}}$

(2) $y=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$

(3) $y=x\sqrt[4]{x}$

(4) $y=4x^{\frac{3}{2}}-6x^{\frac{5}{6}}$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^{\frac{4}{7}}$ の微分

$y' = \frac{4}{7} x^{\frac{4}{7}-1} = \frac{4}{7} x^{-\frac{3}{7}}$

$y' = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{7}}} = \frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}}$

(2) $y=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ の微分

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$

$y' = -\frac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}$

$y' = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3}{2\sqrt{x^5}}$

(3) $y=x\sqrt[4]{x}$ の微分

$y = x \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{1+\frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}}$

$y' = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}$

$y' = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

(4) $y=4x^{\frac{3}{2}}-6x^{\frac{5}{6}}$ の微分

$y' = 4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}-1} - 6 \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6}-1} = 6 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{-\frac{1}{6}}$

$y' = 6\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y'=\frac{4}{7\sqrt[7]{x^3}}$

(2) $y'=-\frac{3}{2\sqrt{x^5}}$

(3) $y'=\frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$

(4) $y'=6\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt[6]{x}}$