与えられた関数 $y = 3x^2 \cdot \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x^5\sqrt{x}}$ を微分して、$y'$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 3x^2 \cdot \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x^5\sqrt{x}}$ を微分して、$y'$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$、$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であることを利用します。

$y = 3x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^5 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

$y = 3x^{2+\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{5+\frac{1}{2}}}$

$y = 3x^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$

$y = 3x^{\frac{7}{3}} - x^{-\frac{11}{2}}$

次に、微分を行います。

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$の公式を利用します。

$y' = \frac{d}{dx}(3x^{\frac{7}{3}} - x^{-\frac{11}{2}})$

$y' = 3 \cdot \frac{7}{3} x^{\frac{7}{3}-1} - (-\frac{11}{2}) x^{-\frac{11}{2}-1}$

$y' = 7x^{\frac{4}{3}} + \frac{11}{2} x^{-\frac{13}{2}}$

$y' = 7\sqrt[3]{x^4} + \frac{11}{2\sqrt{x^{13}}}$

$y' = 7\sqrt[3]{x^4} + \frac{11}{2x^6\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = 7x^{\frac{4}{3}} + \frac{11}{2}x^{-\frac{13}{2}}$ または、$y' = 7\sqrt[3]{x^4} + \frac{11}{2x^6\sqrt{x}}$