与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を、自然対数の底の定義 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ および数列の極限の性質を用いて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を、自然対数の底の定義 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ および数列の極限の性質を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた極限を自然対数の底の定義の形に変形していく。

まず、式変形を行う。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n})^n$

$=\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n-1})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n-1})^{-n}$

ここで、$m = n - 1$ とおくと、$n = m+1$ であり、$n \to \infty$ のとき、$m \to \infty$ となる。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n-1})^{-n} = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-(m+1)}$

$= \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} (1 + \frac{1}{m})^{-1}$

$= \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} \cdot \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-1}$

ここで、$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$ であるから、$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

また、$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-1} = (1 + 0)^{-1} = 1^{-1} = 1$

よって、

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} \cdot \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{-1} = \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$