与えられた極限を計算する問題です。具体的には、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(11x)}{(11x)^2}$を計算し、それが$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{11}{2}x)}{(11x)^2}$に等しいかどうかを判断します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(11x)}{(11x)^2}$を計算し、それが$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{11}{2}x)}{(11x)^2}$に等しいかどうかを判断します。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos(11x)$を三角関数の半角の公式を使って変形します。半角の公式は以下の通りです。

$1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$

この公式を適用すると、

$1 - \cos(11x) = 2\sin^2(\frac{11x}{2})$

となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(11x)}{(11x)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{11x}{2})}{(11x)^2}$

となり、問題文にある式と一致します。

次に、極限を計算します。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{11x}{2})}{(11x)^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{11x}{2})}{(11x)^2}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{11x}{2})}{11x}\right)^2$

$= 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(\frac{11x}{2})}{\frac{11x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\right)^2$

$= 2 \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{11x}{2})}{\frac{11x}{2}} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\right)^2$

$= 2 \left(1 \cdot \frac{1}{2}\right)^2$

$= 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(11x)}{(11x)^2} = \frac{1}{2}$となり、与えられた式は正しいです。

答え: $\frac{1}{2}$