与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子を $x^2 + 72 = (x \sin x + 9 \cos x)' \cdot f(x) + (x \sin x + 9 \cos x) \cdot g(x)$ の形に変形することを考えます。

ここで $(x \sin x + 9 \cos x)' = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$ です。

被積分関数を部分分数分解することを考えます。

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{A(x \cos x - 8 \sin x) + B(x \sin x + 9 \cos x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

とおき、適当な $A$ と $B$ を求めたいです。

ここで、被積分関数を次のように変形します。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x \cos x - 8 \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} \cdot 9 \, dx + \int \frac{x \sin x + 9 \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} \cdot \frac{x}{9} dx$

$\frac{d}{dx} (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$\frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{(x\cos x-8\sin x)\cdot 9 - (x\sin x + 9\cos x) \cdot x}{(x\sin x+9\cos x)^2}$

ここで $f(x)=x$ ,$g(x) = x\sin x + 9\cos x$ とすると

$f'(x) = 1$, $g'(x) = x\cos x - 8 \sin x$ となるので、

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = -\int \frac{(x \sin x + 9 \cos x) \cdot 1 - x \cdot (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

$= - \frac{x}{x\sin x + 9 \cos x} + C$

$\int \frac{(x^2+72)dx}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \int \frac{(x\cos x - 8 \sin x) x + (x \sin x + 9 \cos x) (-1)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{-x}{x\sin x+9\cos x}\right) = -\frac{(x\sin x+9\cos x) - x(x\cos x-8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{-x \sin x - 9\cos x + x^2\cos x - 8x\sin x}{(x \sin x + 9\cos x)^2} = \frac{x^2+72}{(x \sin x+9 \cos x)^2}$

したがって、$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = - \frac{x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{x}{x\sin x+9\cos x} + C$