次の無限級数の和を求める問題です。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求める問題です。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$\sin \frac{n\pi}{2}$ の値を $n$ の値に応じて調べます。

- $n=1$ のとき、$\sin \frac{\pi}{2} = 1$

- $n=2$ のとき、$\sin \pi = 0$

- $n=3$ のとき、$\sin \frac{3\pi}{2} = -1$

- $n=4$ のとき、$\sin 2\pi = 0$

このように、$\sin \frac{n\pi}{2}$ は $1, 0, -1, 0$ を繰り返すことがわかります。したがって、奇数項のみが残ります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2} = \frac{1}{3^1} \sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3^2} \sin \pi + \frac{1}{3^3} \sin \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{3^4} \sin 2\pi + \dots$

$= \frac{1}{3} (1) + \frac{1}{9} (0) + \frac{1}{27} (-1) + \frac{1}{81} (0) + \frac{1}{243} (1) + \dots$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{27} + \frac{1}{243} - \dots$

これは、初項 $\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{9}$ の等比数列の無限和です。等比数列の和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ であり、$a$ は初項、$r$ は公比です。

したがって、

$S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{10}$