次の無限級数の和を求めよ。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求めよ。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$\sin \frac{n\pi}{2}$ の値を $n$ の値によって場合分けして考える。

$n=1$ のとき $\sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n=2$ のとき $\sin \frac{2\pi}{2} = \sin \pi = 0$

$n=3$ のとき $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$n=4$ のとき $\sin \frac{4\pi}{2} = \sin 2\pi = 0$

$n=5$ のとき $\sin \frac{5\pi}{2} = 1$

となるので、$\sin \frac{n\pi}{2}$ は $1, 0, -1, 0$ を繰り返すことがわかる。

したがって、与えられた無限級数は次のように書き換えることができる。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \sin \frac{n\pi}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^5} - \frac{1}{3^7} + \cdots$

これは、初項 $\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{9}$ の等比数列である。

等比数列の和の公式 $S = \frac{a}{1-r}$ (ただし $|r|<1$) を使うと、

$S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{10}$