与えられた極限の値を求めます。問題は以下の通りです。 $\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n-1}} \right)^n$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求めます。問題は以下の通りです。

$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n-1}} \right)^n$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}} = \frac{1}{\frac{n-1+1}{n-1}} = \frac{1}{\frac{n}{n-1}} = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$

したがって、求める極限は以下のようになります。

$\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

ここで、$x = -n$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to -\infty$ となり、

$\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{x\to-\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x} = \lim_{x\to-\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right]^{-1}$

$\lim_{x\to-\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$

よって、

$\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$