関数 $y = 2\sin x \cos x - \sin x + \cos x + 3$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。ただし、$t = \sin x - \cos x$ とおき、$y$ を $t$ の式で表し、$t$ の取り得る値の範囲も求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin x \cos x - \sin x + \cos x + 3$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。ただし、$t = \sin x - \cos x$ とおき、$y$ を $t$ の式で表し、$t$ の取り得る値の範囲も求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x - \cos x$ を変形します。

$t = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ であるから、$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$。

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-\sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} \cdot 1$

$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3}{4}\pi$なので、取りうる値の範囲は$-1 \le \sin(x-\frac{\pi}{4}) \le 1$となります。

なので、$t = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$ の取りうる値の範囲は $-\sqrt{2}/2 \le t/\sqrt{2} \le \sqrt{2}$。$-\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$となり、$-\sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$より、$t$ の取りうる範囲は$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$なので、$-\sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} * 1$つまり、$-1 \le t \le \sqrt{2}$.

これは、$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2\sin x \cos x$　より、$2\sin x \cos x = 1 - t^2$ である。

よって、$y = (1-t^2) - t + 3 = -t^2 - t + 4$。

$y = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 4 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{4}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{17}{4}$ をとる。これは $-1 \le t \le \sqrt{2}$ を満たす。

$t = \sqrt{2}$ のとき、最小値 $y = -(\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + 4 = -2 - \sqrt{2} + 4 = 2 - \sqrt{2}$ をとる。

$t = -1$ のとき $y = -1 + 1 + 4 = 4$

$t$の範囲は$-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$.

最大値は$t=-\frac{1}{2}$のとき、$y = -(t+0.5)^2 + \frac{17}{4}= \frac{17}{4}$.

最小値は$t = \sqrt{2}$のとき、$4-2-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

カ：2

キ：4

クケ：-1

コ：√2

サ：-1

シ：4

スセ：17

ソ：4

タ：2

チ：2