$x \ge 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ を証明する。

1. 問題の内容

$x \ge 0$ のとき、不等式 $x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ とおく。

この関数が $x \ge 0$ において $f(x) \ge 0$ となることを示す。

$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のとき。

$f(0) = 4 > 0$

$f(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

$x \ge 0$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 2 | ... |

| ----- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 4 | ↓ | 0 | ↑ |

増減表より、$x \ge 0$ において $f(x)$ の最小値は $f(2) = 0$ である。

したがって、$x \ge 0$ において $f(x) \ge 0$ が成り立つ。

よって、$x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ が証明された。

3. 最終的な答え

$x \ge 0$ のとき、$x^3 - 3x^2 + 4 \ge 0$ が成り立つ。