$\lim_{n\to\infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} (a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2}) = 0$ が成り立つような実数 $a, b, c$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の式を変形します。$\sqrt{n}$ でくくり出すと、

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\left(a + b\sqrt{\frac{n+1}{n}} + c\sqrt{\frac{n+2}{n}}\right) = 0$$

ここで、$\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1$ および $\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n+2}{n}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{2}{n}} = 1$ であることを利用します。

もし $a+b+c \ne 0$ ならば、$\lim_{n\to\infty} \sqrt{n}(a+b+c) = \pm \infty$ となり、極限が 0 になることはありません。したがって、

$$a+b+c = 0$$

でなければなりません。

次に、式をさらに変形します。

$$a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2} = a\sqrt{n} + b(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + c(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) + (b+c)\sqrt{n}$$

ここで $a+b+c = 0$ より、$a=-(b+c)$ なので、

$$a\sqrt{n} + b\sqrt{n+1} + c\sqrt{n+2} = b(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + c(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$$

ここで、$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ および $\sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$ であることを利用します。すると、

$$b(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) + c(\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = \frac{b}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + \frac{2c}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$

$n \to \infty$ のとき、この式は

$$\frac{b}{2\sqrt{n}} + \frac{2c}{2\sqrt{n}} = \frac{b+2c}{2\sqrt{n}}$$

に近づきます。これが 0 になるためには、$b+2c = 0$ でなければなりません。

したがって、$b = -2c$ であり、$a = -(b+c) = -(-2c+c) = c$ です。

したがって、$a = c$ かつ $b = -2c$ です。

3. 最終的な答え

$a = c$ かつ $b = -2c$ を満たす任意の実数 $c$ (ただし、$c$ は実数)。

つまり、$(a, b, c) = (c, -2c, c)$ （$c$ は任意の実数）