与えられた極限 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+2}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})\sqrt{n+2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$の部分を有理化します。$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ を分子と分母に掛けます。

$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n+2} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \sqrt{n+2}$

$= \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \sqrt{n+2}$

$= \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \sqrt{n+2}$

$= \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

次に、$n$ で分子と分母を割ります。(実際には $\sqrt{n}$ で割ります。)

$= \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ かつ $\frac{1}{n} \to 0$ となるので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$