$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \sqrt{n+2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \sqrt{n+2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ を有理化します。

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

よって、求める極限は

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \sqrt{n+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

ここで、分子と分母を $\sqrt{n}$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{2}{n} \to 0$ となるので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{\sqrt{1 + 0}}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$