与えられた極限 $\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1+\cos x}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1+\cos x}$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$x=\pi$を代入してみると、分子は$(x-\pi)^2=(\pi-\pi)^2 = 0$、分母は$1+\cos(\pi) = 1+(-1) = 0$となるため、不定形$\frac{0}{0}$となる。したがって、ロピタルの定理を用いることができる。

分子を$f(x) = (x-\pi)^2$、分母を$g(x) = 1+\cos x$とすると、

$f'(x) = 2(x-\pi)$

$g'(x) = -\sin x$

となり、

$\lim_{x \to \pi} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{2(x-\pi)}{-\sin x}$

再び$x=\pi$を代入すると、$\frac{0}{0}$の不定形となるので、再度ロピタルの定理を適用する。

$f''(x) = 2$

$g''(x) = -\cos x$

よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{2}{-\cos x} = \frac{2}{-\cos \pi} = \frac{2}{-(-1)} = \frac{2}{1} = 2$

別解として、$x-\pi=t$とおくと、$x=t+\pi$となり、$x\to\pi$のとき、$t\to 0$となる。

$\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{1+\cos x} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1+\cos(t+\pi)}$

$\cos(t+\pi) = \cos t \cos \pi - \sin t \sin \pi = -\cos t$だから、

$\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{1-\cos t}$

ここで、$1-\cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$より

$\lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2\sin^2(\frac{t}{2})} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2(\frac{t}{2})^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2\frac{t^2}{4}} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{\frac{t^2}{2}} = 2$

3. 最終的な答え

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