水平面と角 $\beta$ をなす斜面の最下点から、斜面と角 $\alpha$ をなす方向に初速 $v_0$ で物体を投げた時、斜面上での最大到達距離を得るための角 $\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

水平面と角 $\beta$ をなす斜面の最下点から、斜面と角 $\alpha$ をなす方向に初速 $v_0$ で物体を投げた時、斜面上での最大到達距離を得るための角 $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

斜面に沿って $x$ 軸、斜面と垂直方向に $z$ 軸を取る。重力加速度 $g$ の斜面方向成分は $g\sin\beta$、斜面垂直方向成分は $g\cos\beta$ である。

物体の運動方程式は次のようになる。

$x$ 軸方向:

$v_x(t) = v_0\cos\alpha - g\sin\beta \cdot t$

$x(t) = v_0\cos\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\sin\beta \cdot t^2$

$z$ 軸方向:

$v_z(t) = v_0\sin\alpha - g\cos\beta \cdot t$

$z(t) = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t^2$

斜面に到達する時間 $t$ は $z(t)=0$ を満たす。

$v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t^2 = 0$

$t(v_0\sin\alpha - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t)=0$

$t=0$ は初期地点を表すので、

$t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta}$

この時間での $x$ 座標が斜面上の到達距離 $R$ となる。

$R = v_0\cos\alpha \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta} - \frac{1}{2}g\sin\beta \cdot (\frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta})^2$

$R = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g\cos\beta} - \frac{2v_0^2\sin^2\alpha\sin\beta}{g\cos^2\beta}$

$R = \frac{2v_0^2}{g\cos^2\beta}(\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta - \sin^2\alpha\sin\beta)$

$R = \frac{2v_0^2}{g\cos^2\beta}\sin\alpha(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$

$R = \frac{2v_0^2}{g\cos^2\beta}\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)$

到達距離 $R$ を最大にする $\alpha$ を求める。

$\frac{dR}{d\alpha} = \frac{2v_0^2}{g\cos^2\beta}[\cos\alpha\cos(\alpha+\beta) - \sin\alpha\sin(\alpha+\beta)] = 0$

$\cos\alpha\cos(\alpha+\beta) - \sin\alpha\sin(\alpha+\beta) = 0$

$\cos(\alpha+(\alpha+\beta)) = 0$

$\cos(2\alpha+\beta) = 0$

$2\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}$