水面上の2点A, Bを波源とする水面波の干渉に関する問題である。 (1) 波の波長を求める。 (2) 波の速さが1.0 m/sのときの波源の振動数を求める。 (3) 波源Bの振動を波源Aより半周期遅らせたときの破線の変化を概略で示す。 (4) 波源Bの振動を波源Aより1/8周期遅らせた場合に、振動が最大となる点のうち点Pに最も近いものがx軸上のどちら側に何m動くかを求める。

1. 問題の内容

水面上の2点A, Bを波源とする水面波の干渉に関する問題である。

(1) 波の波長を求める。

(2) 波の速さが1.0 m/sのときの波源の振動数を求める。

(3) 波源Bの振動を波源Aより半周期遅らせたときの破線の変化を概略で示す。

(4) 波源Bの振動を波源Aより1/8周期遅らせた場合に、振動が最大となる点のうち点Pに最も近いものがx軸上のどちら側に何m動くかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 図の破線は、振動が最も大きくなる点をつなぐ線であり、腹線を表す。点Aと点Bの間には3本の腹線がある。点Aと点Bは隣り合う腹線上にあり、その間隔は半波長($\lambda/2$)に相当する。点Aと点Bの間隔は6.0 mなので、

$3 \times (\lambda/2) = 6.0$

$\lambda/2 = 2.0$

$\lambda = 4.0$ m

(2) 波の速さ$v$と波長$\lambda$、振動数$f$の関係は、

$v = f\lambda$

与えられた条件より、$v = 1.0$ m/s、$\lambda = 4.0$ mなので、

$1.0 = f \times 4.0$

$f = 1.0 / 4.0 = 0.25$ Hz

(3) 波源Bの振動を波源Aより半周期遅らせると、腹線と節線が入れ替わる。元の腹線の位置に節線が、元の節線の位置に腹線が現れる。したがって、点Aと点Bの間にあった3本の腹線は節線となり、その間には新たに腹線が現れる。

線分ABと交わらない線はかかないように概略図を描く。

(4) 波源Bの振動を波源Aよりも1/8周期遅らせた場合、点Pの位置変化を考える。

点Pはx軸上にあり、波源Aと波源Bの中点にある。このとき、点Pにおける波源Aと波源Bからの距離の差は0である。

波源Bの位相が波源Aより1/8周期遅れるとき、点Pでの位相差は$\Delta\phi = \frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}$となる。

振動が最大となるのは、2つの波源からの距離の差$\Delta x$が$\Delta x = m\lambda$ (mは整数)となるときである。点Pが波源Aから$r$、波源Bから$r$の距離にあるとき、波源Bを1/8周期遅らせると、新たに振動が最大となる点P'は、波源Aから$r+\delta$、波源Bから$r-\delta$の距離にあると考えることができる。このとき、

$\Delta x = (r+\delta) - (r-\delta) = 2\delta = m\lambda$

ここで、$\lambda = 4.0$ mである。$m = 0$とすると、$\Delta x = 0$なので、点Pが動かないことになる。そこで、$m = \pm1$として考える。

$2\delta = \pm 1 \times 4.0$

$\delta = \pm 2.0$

一方、点Aと点Bの間隔は6.0 mなので、点Aからx軸までの距離は3.0 mである。また、図からAのy座標は-2.0 m程度である。そこで、点A,Bは(3,-2),(-3,-2)にあると考えられる。点Bの位相を少し遅らせることで点Pがわずかにx方向に移動するとき、それはx軸に沿ったごく小さい距離の移動であると考えることができる。

ここで、$\Delta x = |AP' - BP'| \approx \lambda / 8 = 4.0/8 = 0.5 m$となる。

波源Bを遅らせたことで、点Pは波源Bに近づく方向に移動する。元の点Pの位置を(0,-2)と仮定する。移動後の点P'の位置を(x,-2)とすると、

$AP' = \sqrt{(x-3)^2 + (-2+2)^2} = |x-3|$

$BP' = \sqrt{(x+3)^2 + (-2+2)^2} = |x+3|$

$AP' - BP' = |x-3| - |x+3| = 0.5$

ここで、$x$は非常に小さいので、$|x-3| = 3-x$, $|x+3| = 3+x$と近似できる。

$(3-x) - (3+x) = -2x = 0.5$

$x = -0.25$

波源Bを遅らせたので、点Pは波源B側に0.25 m移動する。

有効数字2桁で答えるので、0.25 m

3. 最終的な答え

(1) 4.0 m

(2) 0.25 Hz

(3) (省略)

(4) 波源B側に0.25 m