与えられた関数を微分する問題です。今回は、(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ と (10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ と (10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ の微分：

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。ここで、$u = x$、$v = \cos^2 x$ と置きます。

すると、$u' = 1$、$v' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$ となります。

したがって、

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y' = \frac{1 \cdot \cos^2 x - x \cdot (-2\sin x \cos x)}{(\cos^2 x)^2} = \frac{\cos^2 x + 2x\sin x \cos x}{\cos^4 x}

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= \frac{\cos x(\cos x + 2x\sin x)}{\cos^4 x} = \frac{\cos x + 2x\sin x}{\cos^3 x}

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(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分：

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を利用します。ここで、$u = \sin x$、$v = 1 + \cos x$ と置きます。

すると、$u' = \cos x$、$v' = -\sin x$ となります。

したがって、

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y' = \frac{\cos x \cdot (1 + \cos x) - \sin x \cdot (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}

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= \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}

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3. 最終的な答え

(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ の微分: $y' = \frac{\cos x + 2x\sin x}{\cos^3 x}$

(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分: $y' = \frac{1}{1 + \cos x}$