$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y = |x^2 - x|$ を $C$ とし、直線 $y = mx + n$ を $\ell$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $\ell$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。 (1) 直線 $\ell$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。 (3) $x < 0$ の範囲における直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP : PR = 1 : 3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y = |x^2 - x|$ を $C$ とし、直線 $y = mx + n$ を $\ell$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $\ell$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。

(1) 直線 $\ell$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。

(3) $x < 0$ の範囲における直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP : PR = 1 : 3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $0 < x < 1$ の範囲では、$x^2 - x < 0$ であるから、$y = |x^2 - x| = -(x^2 - x) = -x^2 + x$ となる。

$y' = -2x + 1$

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とすると、接線の方程式は

$y - (-p^2 + p) = (-2p + 1)(x - p)$

$y = (-2p + 1)x - p^2 + p + (-p^2 + p) = (-2p + 1)x + p^2$

$y = (-2p + 1)x + p^2$ は $y = mx + n$ と一致するので、

$m = -2p + 1$

$n = p^2$

$p = \sqrt{n}$ であるから、$m = -2\sqrt{n} + 1$

(2) $p = \sqrt{n}$

(3) $x < 0$ の範囲では、$y = x^2 - x$ であり、直線 $\ell$ の方程式は $y = mx + n$ であるから、

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m + 1)x - n = 0$

解の公式より、$x = \frac{(m + 1) \pm \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$

$x < 0$ であるから、$x = \frac{(m + 1) - \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$

よって、$Q$ の $x$ 座標は $\frac{(m + 1) - \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$ である。

$x > 1$ の範囲では、$y = x^2 - x$ であり、直線 $\ell$ の方程式は $y = mx + n$ であるから、

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m + 1)x - n = 0$

解の公式より、$x = \frac{(m + 1) \pm \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$

$x > 1$ であるから、$x = \frac{(m + 1) + \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$

よって、$R$ の $x$ 座標は $\frac{(m + 1) + \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$ である。

点 $P$ の $x$ 座標は $\sqrt{n}$ である。

$QP : PR = 1 : 3$ より、$3(p - Q) = R - p$

$3p - 3Q = R - p$

$4p = R + 3Q$

$4\sqrt{n} = \frac{(m + 1) + \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2} + 3 \cdot \frac{(m + 1) - \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}}{2}$

$8\sqrt{n} = (m + 1) + \sqrt{(m + 1)^2 + 4n} + 3(m + 1) - 3\sqrt{(m + 1)^2 + 4n}$

$8\sqrt{n} = 4(m + 1) - 2\sqrt{(m + 1)^2 + 4n}$

$4\sqrt{n} = 2(m + 1) - \sqrt{(m + 1)^2 + 4n}$

$\sqrt{(m + 1)^2 + 4n} = 2(m + 1) - 4\sqrt{n}$

$(m + 1)^2 + 4n = 4(m + 1)^2 - 16\sqrt{n}(m + 1) + 16n$

$0 = 3(m + 1)^2 - 16\sqrt{n}(m + 1) + 12n$

$0 = 3(m + 1)^2 - 8(m + 1)m + 12(\frac{1 - m}{2})^2$

$m = 1 - 2\sqrt{n}$ なので、$\sqrt{n} = \frac{1 - m}{2}$

$3(m + 1)^2 - 16 \cdot \frac{1 - m}{2} (m + 1) + 12 (\frac{1 - m}{2})^2 = 0$

$3(m + 1)^2 - 8(1 - m)(m + 1) + 3(1 - m)^2 = 0$

$3(m^2 + 2m + 1) - 8(1 - m^2) + 3(1 - 2m + m^2) = 0$

$3m^2 + 6m + 3 - 8 + 8m^2 + 3 - 6m + 3m^2 = 0$

$14m^2 - 2 = 0$

$14m^2 = 2$

$m^2 = \frac{1}{7}$

$m > 0$ より、$m = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $m = 1 - 2\sqrt{n}$

(2) $\sqrt{n}$

(3) $m = \frac{\sqrt{7}}{7}$