$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ が成立するとして、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の1階微分を求める。ただし、式(28)と式(29)を利用すること。

1. 問題の内容

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ が成立するとして、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の1階微分を求める。ただし、式(28)と式(29)を利用すること。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta$ の微分:

$\sin \theta$ の微分を定義に従って求める。

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\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\theta + h) - \sin \theta}{h}

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三角関数の加法定理より、$\sin(\theta + h) = \sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h$ なので、

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\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta \cos h + \cos \theta \sin h - \sin \theta}{h}

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= \lim_{h \to 0} \frac{\sin \theta (\cos h - 1) + \cos \theta \sin h}{h}

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= \lim_{h \to 0} \sin \theta \frac{\cos h - 1}{h} + \cos \theta \frac{\sin h}{h}

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ここで、式(28)と式(29)が与えられていると仮定して、

式(29)より、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

式(28)は$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$であると仮定する。

したがって、

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\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \sin \theta \cdot 0 + \cos \theta \cdot 1 = \cos \theta

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(2) $\cos \theta$ の微分:

$\cos \theta$ の微分を定義に従って求める。

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\frac{d}{d\theta} \cos \theta = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\theta + h) - \cos \theta}{h}

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三角関数の加法定理より、$\cos(\theta + h) = \cos \theta \cos h - \sin \theta \sin h$ なので、

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\frac{d}{d\theta} \cos \theta = \lim_{h \to 0} \frac{\cos \theta \cos h - \sin \theta \sin h - \cos \theta}{h}

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= \lim_{h \to 0} \frac{\cos \theta (\cos h - 1) - \sin \theta \sin h}{h}

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= \lim_{h \to 0} \cos \theta \frac{\cos h - 1}{h} - \sin \theta \frac{\sin h}{h}

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式(28)より、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$

式(29)より、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

したがって、

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\frac{d}{d\theta} \cos \theta = \cos \theta \cdot 0 - \sin \theta \cdot 1 = - \sin \theta

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3. 最終的な答え

$\frac{d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta$

$\frac{d}{d\theta} \cos \theta = - \sin \theta$