次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。 (1) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2} a_n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$ (3) $a_1 = 6, a_{n+1} = 2a_n - 5 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

はい、承知しました。次の問題について、それぞれ数列の極限を求めます。

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。

(1) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2} a_n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

(3) $a_1 = 6, a_{n+1} = 2a_n - 5 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2} a_n$ の極限を求める。

数列が極限 $\alpha$ に収束すると仮定すると、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ が成り立つ。

よって、漸化式で $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = 1 - \frac{1}{2} \alpha$

$\frac{3}{2} \alpha = 1$

$\alpha = \frac{2}{3}$

この極限に収束するかどうかを確かめる。

$a_{n+1} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{2} a_n - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} a_n = -\frac{1}{2} (a_n - \frac{2}{3})$

よって、数列 $\{a_n - \frac{2}{3}\}$ は初項 $a_1 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$, 公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$a_n - \frac{2}{3} = (-\frac{1}{2})^{n-1} (-\frac{2}{3})$

$a_n = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} (-\frac{1}{2})^{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^{n-1} = 0$ より

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$

(2) $a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + 1$ の極限を求める。

数列が極限 $\alpha$ に収束すると仮定すると、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ が成り立つ。

よって、漸化式で $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = \frac{3}{4} \alpha + 1$

$\frac{1}{4} \alpha = 1$

$\alpha = 4$

この極限に収束するかどうかを確かめる。

$a_{n+1} - 4 = \frac{3}{4} a_n + 1 - 4 = \frac{3}{4} a_n - 3 = \frac{3}{4} (a_n - 4)$

よって、数列 $\{a_n - 4\}$ は初項 $a_1 - 4 = 1 - 4 = -3$, 公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列である。

$a_n - 4 = (\frac{3}{4})^{n-1} (-3)$

$a_n = 4 - 3(\frac{3}{4})^{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^{n-1} = 0$ より

$\lim_{n \to \infty} a_n = 4$

(3) $a_{n+1} = 2a_n - 5$ の極限を求める。

数列が極限 $\alpha$ に収束すると仮定すると、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ が成り立つ。

よって、漸化式で $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = 2\alpha - 5$

$\alpha = 5$

この極限に収束するかどうかを確かめる。

$a_{n+1} - 5 = 2a_n - 5 - 5 = 2a_n - 10 = 2(a_n - 5)$

よって、数列 $\{a_n - 5\}$ は初項 $a_1 - 5 = 6 - 5 = 1$, 公比 $2$ の等比数列である。

$a_n - 5 = 2^{n-1} \cdot 1$

$a_n = 5 + 2^{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} 2^{n-1} = \infty$ より

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

したがって、この数列は発散する。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $4$

(3) 発散