与えられた関数の不定積分を求める問題です。積分する関数は $5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を求める問題です。積分する関数は $5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}$ です。

2. 解き方の手順

不定積分を求めるために、項ごとに積分を行います。

まず、$\int 5x^4 dx$ を計算します。

べき乗則 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C = x^5 + C$

次に、$\int -3x^2 dx$ を計算します。

同様に、べき乗則を用いると、

$\int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = -x^3 + C$

最後に、$\int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx$ を計算します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であることに注意します。

$\int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx = \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = x^{\frac{3}{2}} + C = x\sqrt{x} + C$

したがって、

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx = x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$x^5 - x^3 + x\sqrt{x} + C$