$\alpha$の動径が第3象限にあり、$\beta$の動径が第4象限にある。$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$のとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin(\alpha + \beta)$ (2) $\cos(\alpha - \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$の動径が第3象限にあり、$\beta$の動径が第4象限にある。$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$、$\cos \beta = \frac{4}{5}$のとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin(\alpha + \beta)$

(2) $\cos(\alpha - \beta)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\alpha + \beta)$を求める。

まず、$\cos \alpha$と$\sin \beta$の値を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\alpha$は第3象限にあるので、$\cos \alpha < 0$。よって、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\beta$は第4象限にあるので、$\sin \beta < 0$。よって、$\sin \beta = -\frac{3}{5}$

加法定理より、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = (-\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) + (-\frac{4}{5})(-\frac{3}{5}) = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$

(2) $\cos(\alpha - \beta)$を求める。

加法定理より、

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = (-\frac{4}{5})(\frac{4}{5}) + (-\frac{3}{5})(-\frac{3}{5}) = -\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = -\frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = 0$

(2) $\cos(\alpha - \beta) = -\frac{7}{25}$