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問題は、いくつかの極限を計算する問題と、指定された領域の面積を求める問題から構成されています。 - 極限の計算問題: (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{-1000n^2+5}{n^3}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3-50n^2+1}{5n^3+4n-6}$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ (5) $\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3-3n^2}{-5n^3+4n}$ (6) $\lim_{n \to \infty} \frac{10n^4-3n^2}{-5n^3+4n}$ - 面積の計算問題: (1) $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2\}$ (2) $D_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2+1\}$ (3) $D_5 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \le x \le 1, x^2-1 \le y \le 0\}$

解析学極限面積積分
2025/4/22

1. 問題の内容

問題は、いくつかの極限を計算する問題と、指定された領域の面積を求める問題から構成されています。
- 極限の計算問題:
(1) lim⁡n→∞2n+3n\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n}
(2) lim⁡n→∞−1000n2+5n3\lim_{n \to \infty} \frac{-1000n^2+5}{n^3}
(3) lim⁡n→∞7n3−50n2+15n3+4n−6\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3-50n^2+1}{5n^3+4n-6}
(4) lim⁡n→∞(−1)nn\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}
(5) lim⁡n→∞10n3−3n2−5n3+4n\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3-3n^2}{-5n^3+4n}
(6) lim⁡n→∞10n4−3n2−5n3+4n\lim_{n \to \infty} \frac{10n^4-3n^2}{-5n^3+4n}
- 面積の計算問題:
(1) D1={(x,y)∈R2∣2≤x≤4,0≤y≤x2}D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2\}
(2) D3={(x,y)∈R2∣2≤x≤4,0≤y≤x2+1}D_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^2+1\}
(3) D5={(x,y)∈R2∣−1≤x≤1,x2−1≤y≤0}D_5 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \le x \le 1, x^2-1 \le y \le 0\}

2. 解き方の手順

(1) lim⁡n→∞2n+3n\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n}
分子と分母を nn で割ると、
lim⁡n→∞2+3n1=2+01=2\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{1} = \frac{2+0}{1} = 2
(2) lim⁡n→∞−1000n2+5n3\lim_{n \to \infty} \frac{-1000n^2+5}{n^3}
分子と分母を n3n^3 で割ると、
lim⁡n→∞−1000n+5n31=0+01=0\lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{1000}{n} + \frac{5}{n^3}}{1} = \frac{0+0}{1} = 0
(3) lim⁡n→∞7n3−50n2+15n3+4n−6\lim_{n \to \infty} \frac{7n^3-50n^2+1}{5n^3+4n-6}
分子と分母を n3n^3 で割ると、
lim⁡n→∞7−50n+1n35+4n2−6n3=7−0+05+0−0=75\lim_{n \to \infty} \frac{7 - \frac{50}{n} + \frac{1}{n^3}}{5 + \frac{4}{n^2} - \frac{6}{n^3}} = \frac{7-0+0}{5+0-0} = \frac{7}{5}
(4) lim⁡n→∞(−1)nn\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}
−1≤(−1)n≤1-1 \le (-1)^n \le 1 であるから、 −1n≤(−1)nn≤1n\frac{-1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}
lim⁡n→∞−1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n} = 0 かつ lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 であるので、
lim⁡n→∞(−1)nn=0\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0
(5) lim⁡n→∞10n3−3n2−5n3+4n\lim_{n \to \infty} \frac{10n^3-3n^2}{-5n^3+4n}
分子と分母を n3n^3 で割ると、
lim⁡n→∞10−3n−5+4n2=10−0−5+0=−2\lim_{n \to \infty} \frac{10 - \frac{3}{n}}{-5 + \frac{4}{n^2}} = \frac{10-0}{-5+0} = -2
(6) lim⁡n→∞10n4−3n2−5n3+4n\lim_{n \to \infty} \frac{10n^4-3n^2}{-5n^3+4n}
分子と分母を n3n^3 で割ると、
lim⁡n→∞10n−3n−5+4n2\lim_{n \to \infty} \frac{10n - \frac{3}{n}}{-5 + \frac{4}{n^2}}
n→∞n \to \infty のとき、分子は ∞\infty に発散し、分母は −5-5 に収束するので、
lim⁡n→∞10n4−3n2−5n3+4n=−∞\lim_{n \to \infty} \frac{10n^4-3n^2}{-5n^3+4n} = -\infty
(1) D1D_1 の面積は、∫24x2dx=[13x3]24=13(43−23)=13(64−8)=563\int_2^4 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_2^4 = \frac{1}{3}(4^3 - 2^3) = \frac{1}{3}(64-8) = \frac{56}{3}
(2) D3D_3 の面積は、∫24(x2+1)dx=[13x3+x]24=(643+4)−(83+2)=563+2=56+63=623\int_2^4 (x^2+1) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x]_2^4 = (\frac{64}{3} + 4) - (\frac{8}{3} + 2) = \frac{56}{3} + 2 = \frac{56+6}{3} = \frac{62}{3}
(3) D5D_5 の面積は、∫−11(0−(x2−1))dx=∫−11(1−x2)dx=[x−13x3]−11=(1−13)−(−1+13)=1−13+1−13=2−23=43\int_{-1}^1 (0 - (x^2-1)) dx = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = [x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^1 = (1-\frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1-\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

3. 最終的な答え

極限の計算結果：
(1) 2
(2) 0
(3) 7/5
(4) 0
(5) -2
(6) -∞
面積の計算結果：
(1) 56/3
(2) 62/3
(3) 4/3

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