問題は、与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。具体的には、以下の2つの級数について考えます。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ (2) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} + \dots$

1. 問題の内容

問題は、与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。具体的には、以下の2つの級数について考えます。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} + \dots$

2. 解き方の手順

(1) 第n項 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$ とおくと、$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$ となります。

$n = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$n = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

よって、$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ となります。

第n項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$n \to \infty$ のとき、$S_n$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2}(1-0) = \frac{1}{2}$

(2) 第n項 $\frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(2n+1) - (2n-1)} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

第n項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ (\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2n+1} - 1 \right)$

$n \to \infty$ のとき、$S_n$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \sqrt{2n+1} - 1 \right) = \infty$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{2}$ です。

(2) 発散します。