与えられた積分を計算します。 $$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

2. 解き方の手順

被積分関数を変形します。まず、分子を $x^2 + 72 = x^2 + 81 - 9$ と分解し、さらに $x^2 + 81$ を用いて被積分関数を操作します。

与えられた積分を$I$とおきます。

$$I = \int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

$f(x) = x \sin x + 9 \cos x$とおくと、$f'(x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$となります。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{-9\cos x + x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}\right) = \frac{(x \sin x + 9 \cos x)(\sin x + x \cos x - 9 \sin x) - (-9 \cos x + x \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{(x \sin x + 9 \cos x)(x \cos x - 8 \sin x) - (-9 \cos x + x \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{(x \sin x + 9 \cos x + 9 \cos x - x \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{18 \cos x(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{18x \cos^2 x - 144 \cos x \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

ここで、$u = \frac{f(x)}{g(x)}$の導関数が$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$であることを用います。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x}\right) = \frac{\cos x(x \sin x + 9 \cos x) - \sin x(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{x \sin x \cos x + 9 \cos^2 x - x \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + 8(\cos^2 x + \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{ \cos^2 x + 8}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$x^2 + 72 = x^2 \cos^2 x + x^2 \sin^2 x + 9^2 = (x \cos x)^2 + (x \sin x + 9 \cos x)^2 \cdots$$

$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x\cos x}{x\sin x + 9\cos x} \right) = \frac{ (\cos x -x \sin x)(x\sin x + 9\cos x) - x\cos x(x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$$

$$= \frac{ \cdots}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$$

$$\frac{x \sin x - 9 \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$$

$\frac{\sin x - x (-\cos x)}{(x\sin x+9 \cos x)}$

$$\frac{x \cos x + (x \cos x-8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$x \cos x \frac{1}{x \sin x+9 \cos x}$

与式の積分は、部分分数分解を行うことで解ける可能性があります。

被積分関数は

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$\frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$の微分を考えると

$\frac{\cos x (x \sin x + 9 \cos x) - \sin x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x \sin x \cos x + 9 \cos^2 x - x \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$\frac{-9 \cos x + x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$

最終的に積分は、

$\frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$

$\frac{-x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$

3. 最終的な答え

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$

ここで$C$は積分定数です。

$$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$

したがって、最終的な答えは

$$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$