与えられた無限級数の和を求める問題です。 $$ \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} + \cdots $$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

$$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} + \cdots$$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。一般項は $\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$ です。

$$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} = \frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}$$

$$= \frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(2n+1)-(2n-1)} = \frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$$

したがって、級数の第n項までの部分和 $S_n$ は次のようになります。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})$$

これは望遠鏡和（telescoping sum）なので、次のように書き下すことができます。

$$S_n = \frac{1}{2} [(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})]$$

$$= \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$$

無限級数の和は、部分和の極限として求められます。

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}$$

$n$ が無限大に近づくと、$\sqrt{2n+1}$ も無限大に近づきます。したがって、

$$S = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2} = \infty$$

3. 最終的な答え

無限級数は発散します。

答え：発散